问题
解答题
设F1、F2分别是椭圆
（1）若P是该椭圆上的一个动点，求向量乘积
（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且∠MON为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围． （3）设A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．求四边形AEBF面积的最大值． |
答案
（1）根据题意易知a=2，b=1，c=
，所以F1(-3
，0)，F2(3
，0)，3
设P（x，y），则
•PF1
=(-PF2
-x，-y)•(3
-x，-y)=x2+y2-33
=x2+1-
-3x2 4
=
(3x2-8)．1 4
故-2≤
•PF1
≤1．PF2
（2）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l：y=kx-2，M（x1，y1），B（x2，y2），
联立
，消去y，整理得：(k2+y=kx-2
+y2=1x2 4
)x2+4kx+3=0，1 4
∴x1+x2=-
，x1x2=4k k2+ 1 4
，3 k2+ 1 4
由△=(4k)2-4(k+
)×3=4k2-3＞0，1 4
得：k＜
或k＞-3 2
，3 2
又0°＜∠MON＜90°⇔cos∠MON＞0⇔
•OM
＞0，ON
∴x1x2+y1y2＞0，
又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4
=
+3k2 k2+ 1 4
+4-8k2 k2+ 1 4
=
．-k2+1 k2+ 1 4
∵
+3 k2+ 1 4
＞0，-k2+1 k2+ 1 4
即k2＜4，∴-2＜k＜2．
故由①、②得-2＜k＜-
，或3 2
＜k＜2．3 2
（3）由题设，|BO|=1，|AO|=2．
设y1=kx1，y2=kx2，由x2＞0，y2=-y1＞0，
故四边形AEBF的面积为S=S△BEF+S△AEF=x2+2y2=(x2+2y2)2
=
≤x22+4y2 2+4x2y2
=22(x22+4y22)
，2
当x2=2y2时，上式取等号．所以S的最大值为2
．2