问题
解答题
| 已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）对任意x、y∈R恒成立，在R上单调递减． （1）求证：f（x）是奇函数； （2）若对一切x∈[
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答案
.证明：（1）∵f（x+y）=f（x）+f（y）对任意x、y∈R恒成立
令x=y=0可得，f（0）=2f（0）
∴f（0）=0
令y=-x
∴f（0）=f（x）+f（-x）=0
∴f（-x）=-f（x）
∴函数f（x）是奇函数；（4分）
（2）∵函数f（x）是奇函数
由f[2sin2(
+x)]-f(π 4
cos2x)-f(m)＜03
得f[2sin2(
+x)]＜f(π 4
cos2x)+f(m)3
即f[2sin2(
+x)]＜f(π 4
cos2x+m)（6分）3
又∵f（x）是R上的减函数 2sin2(
+x)＞π 4
cos2x+m（8分）3
即2sin2(
+x)-π 4
cos2x＞m对一切x∈[3
，π 4
]恒成立π 2
2sin2(
+x)-π 4
cos2x=2sin(2x-3
)+1（10分）π 3
当x∈[
，π 4
]时，2x-π 2
∈[π 3
，π 6
]，sin(2x-2π 3
)∈[π 3
，1]（12分）1 2
2sin(2x-
)+1的最小值为2，π 3
∴m＜2（14分）