（Ⅰ）当m=1时，a1=1．a2=λ+1，a3=λ(λ+1)+2=λ2+λ+2…（2分）

假设{an}是等差数列，由a1+a3=2a2，得λ2+λ+3=2(λ+1)

即λ²-λ+1=0，△=-3＜0，方程无实根．

故对于任意的实数λ，

{a_n}一定不是等差数列…（5分）

（Ⅱ）当λ=-

1

2

时，an+1=-

1

2

an+n，bn=an-

2n

3

+

4

9

bn+1=an+1-

2(n+1)

3

+

4

9

=(-

1

2

an+n)-

2(n+1)

3

+

4

9

=-

1

2

an+

n

3

-

2

9

=-

1

2

(an-

2n

3

+

4

9

)=-

1

2

bn又b1=m-

2

3

+

4

9

=m-

2

9

∴当m≠

2

9

时，{bn}是以m-

2

9

为首项，-

1

2

为公比的等比数列…（9分）

当m=

2

9

时，{bn}不是等比数列…（10分）

（Ⅲ）当m=

2

9

，Tn=0，不成立…（11分）

当m≠

2

9

时Tn=

2

3

(m-

2

9

)[1-(-

1

2

)n]

当n为奇数时[1-(-

1

2

)n]∈(1，

3

2

]，

当n为偶数[1-(-

1

2

)n]∈[

3

4

，1)…（14分）

∵1≤T_n≤2对任意的n∈N^*恒成立，

∴

2 3 (m- 2 9 )× 3 2 ≤2 2 3 (m- 2 9 )× 3 4 ≥1

解得m=

20

9

从而求得m=

20

9

…（16分）