对于数列{an}，定义其平均数是Vn=a1+a2+…ann，n∈N*．（Ⅰ）若数

问题解答题

对于数列{a_n}，定义其平均数是Vn=

a1+a2+…an

，n∈N^*．
（Ⅰ）若数列{a_n}的平均数V_n=2n+1，求a_n；
（Ⅱ）若数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，其平均数为V_n，Vn≥t-

对一切n∈N^*恒成立，求实数t的取值范围．

答案

（Ⅰ）因为Vn=

a1+a2+…an

，

所以

a1+a2+…an

=2n+1．

变形得 a1+a2+…+an=2n2+n，①（2分）

当n≥2时有 a1+a2+…+an-1=2(n-1)2+(n-1)②

①-②得a_n=4n-1（n≥2）．（5分）

又当n=1时，V₁=a₁=2×1+1=3，

适合a_n=4n-1．（6分）

故a_n=4n-1（n∈N^*）．（7分）

（Ⅱ）因为an=2n-1，

其平均数Vn=

2n-1

．（9分）

由已知Vn≥t-

对一切n∈N^*恒成立，即λ≤

恒成立．

令f(n)=

，

则

f(n+1)

f(n)

n+1

=2-

n+1

，

当n=1时，

f(n+1)

f(n)

=1，

当n＞1，n∈N^*时，

f(n+1)

f(n)

＞1，

所以f（n）≥f（1）=2，

因此实数t的取值范围t≤2．（14分）