已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为32，且在x轴上的顶点

问题解答题

已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的离心率为

，且在x轴上的顶点分别为A₁（-2，0），A₂（2，0）．
（1）求椭圆方程；
（2）若直线l：x=t（t＞2）与x轴交于点T，P为l上异于T的任一点，直线PA₁、PA₂分别与椭圆交于M、N两点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论．

答案

（1）由已知椭圆C的离心率e=

，a=2，可得 c=

，b=1，

∴椭圆的方程为

+y2=1．

（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线A₁M斜率为k₁，则直线A₁M的方程为y=k₁（x+2），

由

y=k1(x+2)

+y2=1

，解得x1=

-8

，y1=

4k1

，∴M点坐标为（

-8

，

4k1

）．

同理，设直线A₂N的斜率为k₂则N点坐标为（

-2

，

-4k2

）．

由直线A₁M与直线A₂N的交点P（t，y_p）在直线l上，

又y_p=k₁（t+2），y_p=k₂（t-2），∴k₁（t+2）=k₂（t-2），∴

k1-k2

k1+k2

．

又MN的方程为

y-y1

x-x1

y2-y1

x2-x1

，令y=0，得 x=

x2y1-x1y2

y1-y2

．

即直线MN与x轴交点为(

，0)，又t＞2，∴0＜

＜2．

又椭圆右焦点为(

，0)，故当 t=

时，MN过椭圆的焦点．