（1）∵椭圆C₁的方程是

x2

4

+y2=1，

∴a=2，b=1，c=

3

，

∴双曲线C₂的方程为

x2

3

-y2=1．

（2）直线y=kx+

2

，双曲线

x2

3

-y2=1两个方程联立，并化简，得：

（1-3k²）x²-6

2

kx-9=0，

∵直线y=kx+

2

与双曲线C₂恒有两个不同的交点A和B

∴△=（-6

2

k）²-4×（1-3k²）×（-9）＞0

即k²+1＞0，

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

则有x₁+x₂=

6 2 k

1-3k2

，x1x2=

9

3k2-1

，

∴y1y2=(kx1+

2

)(kx2+

2

)

=k²x₁x₂+

2

k（x₁+x₂）+2

=

2-3k2

1-3k2

．

∵

OA

•

OB

＞2，

∴-

3

＜k＜

3

，

故k的范围为：-

3

＜k＜

3

．

（3）C₂渐近线为|

3

| y=x，设P1(

3

p1，p1)， P2(-

3

p2 ，p2)，且p₂＞0，p₁＜0，

∴P₁P₂的方程为

y-p1

x- 3 p1

=

p2-p1

- 3 p2- 3 p1

，

令y=0，解得P₁P₂与x轴的交点为N（

2 3 p2p1

p2-p1

，0），

∴S△P1OP2=p2|

2 3 p2p1

p2-p1

|-(-p1) |

2 3 p2p1

p2-p1

|

=-2

3

p2p1．

∵

OM

=

1

2

(

OP1

+

OP1

)

=[

3

2

(p1-p2)，

1

2

(p1+p2)]

∴p₁p₂=1，

∴△P₁OP₂的面积S=2

3

．