问题
解答题
已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+1,设bn=an+1-2an. (Ⅰ)证明数列{bn}是等比数列; (Ⅱ)数列{cn}满足cn=
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答案
证明:(Ⅰ)由于Sn+1=4an+1,①
当n≥2时,Sn=4an-1+1.②
①-②得an+1=4an-4an-1.
所an+1-2an=2(an-2an-1).
又bn=an+1-2an,
所以bn=2bn-1.
因为a1=1,且a1+a2=4a1+1,
所以a2=3a1+1=4.
所以b1=a2-2a1=2.
故数列{bn}是首项为2,公比为2的等比数列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知bn=2n,则cn=
=1 log2bn+3 1 n+3
∴Tn=c1c2+c2c3+c3c4+…+cncn+1
=
+1 4×5
+1 5×6
+…+1 6×7 1 (n+3)(n+4)
=
-1 4 1 n+4
=
.n 4(n+4)
由4mTn>(n+2),得
>mn n+4
.n+2 n+3
即m>
.(n+4)(n+2) n(n+3)
所以m>
.n2+6n+8 n2+3n
所以m>1+
=1+3n+8 n2+3n
+3 n+3
.8 n2+3n
设f(x)=1+
+3 x+3
,x≥1.8 x2+3x
可知f(x)在[1,+∞)为减函数,又f(1)=
,15 4
则当n∈N时,有f(n)≤f(1).
所以∴m>
.15 4
故当m>
.时,4mTn>(n+2)cn恒成立.15 4