问题 解答题
已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+1,设bn=an+1-2an
(Ⅰ)证明数列{bn}是等比数列;
(Ⅱ)数列{cn}满足cn=
1
log2bn+3
(n∈N+),设Tn=c1c2+c2c3+c3c4+…+cncn+1,若对一切n∈N+不等式4mTn>(n+2)cn恒成立,求实数m的取值范围.
答案

证明:(Ⅰ)由于Sn+1=4an+1,①

当n≥2时,Sn=4an-1+1.②

①-②得an+1=4an-4an-1

所an+1-2an=2(an-2an-1).

又bn=an+1-2an

所以bn=2bn-1

因为a1=1,且a1+a2=4a1+1,

所以a2=3a1+1=4.

所以b1=a2-2a1=2.

故数列{bn}是首项为2,公比为2的等比数列.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知bn=2n,则cn=

1
log2bn+3
=
1
n+3

∴Tn=c1c2+c2c3+c3c4+…+cncn+1

=

1
4×5
+
1
5×6
+
1
6×7
+…+
1
(n+3)(n+4)

=

1
4
-
1
n+4

=

n
4(n+4)

由4mTn>(n+2),得

mn
n+4
n+2
n+3

即m>

(n+4)(n+2)
n(n+3)

所以m>

n2+6n+8
n2+3n

所以m>1+

3n+8
n2+3n
=1+
3
n+3
+
8
n2+3n

设f(x)=1+

3
x+3
+
8
x2+3x
,x≥1.

可知f(x)在[1,+∞)为减函数,又f(1)=

15
4

则当n∈N时,有f(n)≤f(1).

所以∴m>

15
4

故当m>

15
4
.时,4mTn>(n+2)cn恒成立.

选择题
判断题