证明：（Ⅰ）由于S_n+1=4a_n+1，①

当n≥2时，S_n=4a_n-1+1．②

①-②得a_n+1=4a_n-4a_n-1．

所a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）．

又b_n=a_n+1-2a_n，

所以b_n=2b_n-1．

因为a₁=1，且a₁+a₂=4a₁+1，

所以a₂=3a₁+1=4．

所以b₁=a₂-2a₁=2．

故数列{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b_n=2ⁿ，则c_n=

1

log2bn+3

=

1

n+3

∴T_n=c₁c₂+c₂c₃+c₃c₄+…+c_nc_n+1

=

1

4×5

+

1

5×6

+

1

6×7

+…+

1

(n+3)(n+4)

=

1

4

-

1

n+4

=

n

4(n+4)

．

由4mT_n＞（n+2），得

mn

n+4

＞

n+2

n+3

．

即m＞

(n+4)(n+2)

n(n+3)

．

所以m＞

n2+6n+8

n2+3n

．

所以m＞1+

3n+8

n2+3n

=1+

3

n+3

+

8

n2+3n

．

设f（x）=1+

3

x+3

+

8

x2+3x

，x≥1．

可知f（x）在[1，+∞）为减函数，又f（1）=

15

4

，

则当n∈N时，有f（n）≤f（1）．

所以∴m＞

15

4

．

故当m＞

15

4

．时，4mT_n＞（n+2）c_n恒成立．