（1）设x₁＜x₂＜0，则3x1＜3x2，3x1+x2＜1

∵f(x1)-f(x2)=

3x1

9x1+1

-

3x2

9x2+1

=

3x1+2x2+3x1-32x1+x2-3x2

(9x1+1)(9x2+1)

=

(3x1-3x2)(1-3x1+x2)

(9x1+1)(9x2+1)

＜0，

∴f（x₁）＜f（x₂），即y=f（x）在（-∞，0）上是增函数．   

（2）∵0＜

3x

9x+1

=

1

3x+ 1 3x

≤

1

2

，

∴当x≤0时，f(x)=

3x

9x+1

-

1

2

∈(-

1

2

，0]；             

∵当x＞0时，f(x)=

1

2

-

3x

9x+1

∈(0，

1

2

)．       

综上得 y=f（x）的值域为 (-

1

2

，

1

2

)．            

（3）∵f(x)∈(-

1

2

，

1

2

)，

又∵f(x)＞

1

3

，∴f(x)∈(

1

3

，

1

2

)，此时f(x)=

1

2

-

3x

9x+1

单调递增，

∵f(1)=

1

5

＜

1

3

，∴f(x)∈(

1

3

，

1

2

)时，x＞1⇒3^x＞3．

令

1

2

-

3x

9x+1

＞

1

3

，

即

3x

9x+1

＜

1

6

⇒32x-6•3x+1＞0⇒3x＞3+2

2

⇒x＞log3(3+2

2

)，

∴不等式f(x)＞

1

3

的解集是(log3(3+2

2

)，+∞)．