问题
解答题
| 已知椭圆的中心是原点O，焦点在x轴上，过其右焦点F作斜率为1的直线l交椭圆于A．B两点，若椭圆上存在一点C，使四边形OACB为平行四边形． （1）求椭圆的离心率； （2）若△OAC的面积为15
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答案
（1）设椭圆方程为
+x2 a2
=1(a＞b＞0)，直线l：y=x-cy2 b2
A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为（x0，y0），则
直线方程代入椭圆方程可得（a2+b2）x2-2a2cx+a2（c2-b2）=0
∴x1+x2=
，∴x0=2a2c a2+b2
，y0=x0-c=a2c a2+b2 -b2c a2+b2
∵四边形OACB为平行四边形
∴C（
，2a2c a2+b2
）-2b2c a2+b2
代入椭圆方程并化简可得4c2=a2+b2
∵b2=a2-c2
∴2a2=5c2
∴e=
；10 5
（2）由题意，S△OAC=S△OAB
∵直线AB过焦点F，∴AB=AF+FB=（a-ex1）+（a-ex1）=2a-e（x1+x2）=2a-e•
①2a2c a2+b2
∵e=
，∴c=10 5
a，b2=10 5
a23 5
代入①，可得AB=
a3 2
∵原点到直线l的距离d=
=c 2
a5 5
∴△OAB的面积等于
AB•d=1 2
a23 5 20
由
a2=153 5 20
，可得a=10，∴b2=605
∴椭圆的方程为
+x2 100
=1．y2 60