问题
解答题
已知正项数列{an}的前n和为Sn，且
（1）求证：数列{an}是等差数列； （2）若bn=
（3）在（2）的条件下，是否存在常数λ，使得数列{
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答案
（1）∵Sn=
(an+1)2，∴a1=S1=1 4
(a1+1)2，∴a1=1（an＞0）1 4
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=
(an+1)2-1 4
(an-1+1)2，∴（an+an-1）（an-an-1-2）=01 4
∵an＞0，
∴an-an-1=2，
∴{an}为等差数列．（4'）
（2）由（1）知，{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴an=2n-1
∴bn=
，①2n-1 2n
Tn=
+1 2
+…+3 22
，①2n-1 2n
Tn= 1 2
+1 22
+3 23
+…+5 24
+2n-3 2n
②2n-1 2n
①-②得：
Tn=1 2
+2(1 2
+1 22
+1 23
+1 24
)-1 2n 2n-1 2n+1
∴Tn=3-
（9'）2n-3 2n
（3）∵
=(3-Tn+λ an+2
+λ)2n+3 2n
=1 2n+3
-3+λ 2n+3 1 2n
易知，当λ=-3时，数列{
}为等比数列．（13'）Tn+λ an+2
来处理国与国之间的关系。