问题
解答题
已知数列an满足a1=1，an+1=an+n（n∈N*），数列bn满足b1=1，（n+2）bn+1=nbn（n∈N*），数列cn满足c1=1，
（1）求数列an、bn的通项公式； （2）求数列cn的通项公式； （3）是否存在正整数k使得k(an+
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答案
（1）∵a1=1，an+1=an+n（n∈N*）
∴n≥2，an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=(n-1)+(n-2)+…+1+1=
+1=n(n-1) 2
n2-1 2
n+11 2
∴an=
n2-1 2
n+1（n∈N*），（n+2）bn+1=nbn（n∈N*）1 2
∴
=bn+1 bn
，n n+2
∴n≥2，bn=
•bn bn-1
…bn-1 bn-2
•b1=b2 b1
•n-1 n+1
…n-2 n
•1=1 3
，2 n(n+1)
∴bn=
（n∈N*）2 n(n+1)
（2）c1=1，
+c1 1
+…+c2 22
=cn n2 cn+1 n+1
∴
+c1 1
+…+c2 22
=cn-1 (n-1)2
（n≥2）（n∈N*）cn n
两式相减得：
=cn n2
-cn+1 n+1 cn n
∴
=cn+1 cn
，n=1，(n+1)2 n2
=c1 1
得出c2=2，n≥2c2 2
∴cn=
•cn cn-1
…cn-1 cn-2
•c2=c3 c2
•n2 (n-1)2
…(n-1)2 (n-2)2
•2=32 22 n2 2
cn=
．1，n=1
，n≥2，n∈N*n2 2
（3）当n=1时，k(a1+
)-3•7 2
＞c1+6+151 b2
∴k＞
且k∈N*k≥7且k∈N*62 9
当n≥2时，k(an+
)-7 2
＞cn+6n+15，即k(3 bn+1
-n2 2
+n 2
)-9 2
(n+2)(n+1)＞3 2
+6n+15n2 2
k（n2-n+9）＞4n2+21n+36
∵n2-n+9＞0恒成立，
∴k＞4n2+21n+36 n2-n+9
事实上：
=4+4n2+21n+36 n2-n+9
n+25 n+
-19 n
≥6（n=3取等号）9 n
∴(
)max=9∴k＞9且k∈N*．4n2+21n+36 n2-n+9
综上：k≥10，k∈N*故k的最小值为10．