问题
解答题
等比数列{an}的公比为q，第8项是第2项与第5项的等差中项．
（1）求公比q；
（2）若{an}的前n项和为Sn，判断S3，S9，S6是否成等差数列，并说明理由．
答案
（1）由题可知，2a8=a2+a5，
即2a1q7=a1q+a1q4，
由于a1q≠0，化简得2q6=1+q3，即2q6-q3-1=0，
解得q3=1或q3=-
．所以q=1或q=-1 2
．3 4 2
（2）当q=1时，不能构成等差数列，当当q=-
即q3=-3 4 2
时，三都可以构成等差数列，证明如下：1 2
当q=1时，S3=3a1，S9=9a1，S6=6a1．
易知S3，S9，S6不能构成等差数列．
当q=-
即q3=-3 4 2
时，S3=1 2
=a1(1-q3) 1-q
(1+a1 1-q
)=1 2
•3 2
，S9=a1 1-q
=a1(1-q9) 1-q
[1-(-a1 1-q
)3]=1 2
•9 8
，a1 1-q
S6=
=a1(1-q6) 1-q
[1-(-a1 1-q
)2]=1 2
•3 4
．a1 1-q
验证知S3+S6=2S9，所以S3，S9，S6能构成等差数列．