已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(12)=

问题解答题

已知函数f(x)=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(

，
①求函数f（x）的解析式；
②判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性并用定义证明；
③解关于x的不等式f（log₂x-1）+f（log₂x）＜0．

答案

①依题意得

f(0)=0

，即

b=0

a+b

，解得：

a=1

b=0

．

∴f（x）=

1+x2

．

②f（x）在（-1，1）上是增函数，

证明如下：任取-1＜x₁＜x₂＜1，

则f（x₁）-f（x₂）=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

．

∵-1＜x₁＜x₂＜1

∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0

∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．

∴f（x）在（-1，1）上是增函数．

③令log₂^x=t，则不等式f（log₂x-1）+f（log₂x）＜0，

转化为f（t-1）+f（t）＜0⇒f（t-1）＜-f（t）=f（-t）．

∵f（x）在（-1，1）上是增函数；

∴-1＜t-1＜-t＜1⇒0＜t＜

．

∴0＜log₂^x＜

⇒1＜x＜

．

∴不等式f（log₂x-1）+f（log₂x）的解集为（1，

）．