设函数f（x）=kax-a-x（a＞0且a≠1，k∈R）是奇函数．（1）求实数k

问题解答题

设函数f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1，k∈R）是奇函数．
（1）求实数k的值；
（2）若f（1）=

，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在[1，+∝）上的最小值为-2，求实数m的值．

答案

（1）∵f（x）为奇函数，

∴f（0）=0

∴k-1=0，

∴k=1

（2）∵f（1）=

，

∴a-

，

即2a²-3a-2=0

∴a=2或a=-

（舍去）

∴g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2

令t=f（x）=2^x-2^-x

∵x≥1

∴t≥f（1）=

∴g（x）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²

当m≥

时，当t=m时，g（x）_min=2-m²=-2

∴m=2

当m＜

时，当t=

时，g（x）_min=

-3m=-2

＞

，舍去

∴m=2