已知等差数列{an}的第二项为8，前10项之和为185，从{an}中依次取出第2

问题解答题

已知等差数列{a_n}的第二项为8，前10项之和为185，从{a_n}中依次取出第2项，第4项，第8项，┅，第2ⁿ项，┅，按原来的顺序排成一个新的数列{b_n}．

（1）求数列{b_n}的前n项的和S_n；

（2）设T_n=n（9+a_n），试比较S_n和T_n的大小，并证明你的结论．

答案

（1）由a₂=8，S₁₀=185可得

a1+d=8

10a1+

10×9d

=185

∴d=3，a₁=5∴a_n=3n+2

∵bn=a2n=3•2ⁿ+2

∴S_n=3（2¹+2²+…+2ⁿ）+2+2+…+2=

6(1-2n)

1-2

+2n=3•2ⁿ⁺¹+2n-6

（2）∵T_n=n（9+a_n）=n（3n+11）

当n=1时，S₁=8T₁=14，S₁＜T₁

当n=2，S₂=22＜T₂=34

当n=3，S₃=48＜T₃=60

当n=4，S₄=98＞T₄=92

当n=5，S₅=196＞T₅=130

随着n的增大，S_n，T_n都增加，但是S_n比T_n增加的速度快

故猜想当1≤n≤3，S_n＜T_n

当n≥4，S_n＞T_n

下面用归纳法证明n≥4时，S_n＞T_n

①当n=4时由上述可知命题成立

②假设当n=k（k≥4）时S_k＞T_k，即6•2^k+2k-6＞3k²+11k

∴3.2^1+k＞k²+3k+2）×3

6•2^k+1＞6k²+18k+12=3（k+1）²+11（k+1）+（3k²+3k-6）＞3（k+1）²+11（k+1）

当n=k+1时，命题成立，当n≥4时，都有S_n＞T_n

综上可得，当n≥4时，S_n＞T_n，当1≤n≤3时，S_n＜T_n