问题
解答题
| 数列{an}的前n项的和为Sn，对于任意的自然数an＞0，4Sn=(an+1)2 （Ⅰ）求证：数列{an}是等差数列，并求通项公式 （Ⅱ）设bn=
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答案
（Ⅰ）证明：∵4S1=4a1=（a1+1）2，∴a1=1．
当n≥2时，4an=4Sn-4Sn-1=（an+1）2-（an-1+1）2，
∴2（an+an-1）=an2-an-12，
又{an}各项均为正数，∴an-an-1=2，
∴数列{an}是等差数列，
∴an=2n-1；
（Ⅱ）bn=
=an 3n 2n-1 3n
∴Tn=b1+b2+…+bn=
+1 31
+…+3 32
---①2n-1 3n
∴
Tn=1 3
+1 32
+…+3 33
+2n-3 3n
---②2n-1 3n+1
①-②
Tn=2 3
+2（1 31
+1 32
+…+1 33
）-1 3n
=2n-1 3n+1
-2 3 2n+2 3n+1
∴Tn=1-
-2 3
．n+1 3n