问题
解答题
已知偶函数f（x），对任意x1，x2∈R，恒有：f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+2x1x2+1，
（1）求f（0），f（1），f（2）的值；
（2）求f（x）；
（3）判断F（x）=[f（x）]2-2f（x）在（0，+∞）上的单调性．
答案
（1）直接令x1=x2=0得：f（0）=-1，
令x1=1，x2=-1得：f（1-1）=f（1）+f（-1）-2+1=2f（1）-1，∵f（0）=-1∴f（1）=0，
令x1=x2=1得：f（2）=3；
（2）因为：f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）+2x（-x）+1，
又f（x）=f（-x），f（0）=-1，
故f（x）=x2-1；
（3）∵F（x）=[f（x）]2-2f（x）=x4-4x2+3，
∴F′（x）=4x3-8x=4x（x2-2）=4x（x+
）（x-2
）；2
∴在（
，+∞）上F′（x）＞0，在（0，2
）上F′（x）＜02
故函数F（x）在[
，+∞）上是增函数，在（0，2
）上为减函数．2