设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，a2=6，a3=11，且（5n-8

问题解答题

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，a₂=6，a₃=11，且（5n-8）S_n+1-（5n+2）S_n=An+B，n=1，2，3，…，其中A、B为常数．

（1）求A与B的值．

（2）证明数列{a_n}为等差数列．

答案

（1）由已知得s₁=a₁=1，s₂=a₁+a₂=7，s₃=a₁+a₂+a₃=18

由(5n-8)sn+1-(5n+2)sn=An+B知

-3s2-7s1=A+B

2s3-12s2=2A+B

⇒

A+B=-28

2A+B=-48

⇒A=-20，B=-8

（2）证明：由（1）知（5n-8）s_n+1-（5n+2）s_n=-20n-8①

所以（5n-3）s_n+2-（5n+7）s_n+1=-20n-28②

②-①得（5n-3）s_n+2-（10n-1）s_n+1+（5n+2）s_n=-20③

所以（5n+2）s_n+3-（10n+9）s_n+2+（5n+7）s_n+1=-20④

④-③得（5n+2）s_n+3-（15n+6）s_n+2+（15n+6）s_n+1-（5n+2）s_n=0

因为a_n+1=s_n+1-s_n，所以（5n+2）a_n+3-（10n+4）a_n+2+（5n+2）a_n+1=0

又因为5n+2≠0，所以a_n+3-2a_n+2+a_n+1=0，即a_n+3-a_n+2=a_n+2-a_n+1n≥1，

又a₃-a₂=a₂-a₁=5．∴数列{a_n}为等差数列．