问题
解答题
已知向量
（1）求函数式y=f（x）； （2）求函数f（x）的单调递减区间； （3）若对∀x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），都有mx2+x-3m≥0，求实数m的取值范围． |
答案
（1）当|x|＜2时，由
⊥a
得b
•a
=(x2-3)x-y=0，y=x3-3x；（|x|＜2且x≠0）b
当|x|≥2时，由
∥a
．得y=-b x x2-3
∴y=f(x)=x3-3x，(-2＜x＜2且x≠0)
．(x≥2或x≤-2)x 3-x2
（2）当|x|＜2且x≠0时，由y'=3x2-3＜0，
解得x∈（-1，0）∪（0，1），
当|x|≥2时，y′=
=(3-x2)-x(-2x) (3-x2)2
＞03+x2 (3-x2)2
∴函数f（x）的单调减区间为（-1，1）；
（3）对∀x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），都有mx2+x-3m≥0即m（x2-3）≥-x，
也就是m≥
对∀x∈（-∞，-2]∪[2，+∞）恒成立，x 3-x2
由（2）知当|x|≥2时，f′(x)=
=(3-x2)-x(-2x) (3-x2)2
＞03+x2 (3-x2)2
∴函数f（x）在（-∞，-2]和[2，+∞）都单调递增
又f(-2)=
=2，f(2)=-2 3-4
=-22 3-4
当x≤-2时f(x)=
＞0，x 3-x2
∴当x∈（-∞，-2]时，0＜f（x）≤2同理可得，当x≥2时，有-2≤f（x）＜0，
综上所述得，对x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），f（x）取得最大值2；
∴实数m的取值范围为m≥2．