| （理）设f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及x1、x2∈D恒有f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2）成立，则称f（x）为定义在D上的下凸函数． （1）试判断函数g（x）=2x（x∈R），k(x)=
（2）若h（x）=px2（x∈R）是下凸函数，求实数p的取值范围； （3）已知f（x）是R上的下凸函数，m是给定的正整数，设f（0）=0，f（m）=2m，记Sf=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（m），对于满足条件的任意函数f（x），试求Sf的最大值． |
（1）g（x）=2x是下凸函数，证明如下：
对任意实数x1，x2及α∈（0，1），
有g（αx1+（1-α）x2）-αg（x1）-（1-α）g（x2）=2（αx1+（1-α）x2）-2αx1-2（1-α）x2=0．
即g（αx1+（1-α）x2）≤αg（x1）+（1-α）g（x2）．
∴g（x）=2x是C函数．
k(x)=
(x＜0)不是下凸函数，证明如下：1 x
取x1=-3，x2=-1，α=
，1 2
则k（αx1+（1-α）x2）-αk（x1）-（1-α）k（x2）=k(-2)-
k(-3)-1 2
k(-1)=-1 2
+1 2
+1 6
＞0．1 2
即k（αx1+（1-α）x2）＞αk（x1）+（1-α）k（x2）．
∴k(x)=
(x＜0)不是下凸函数．1 x
（2）h（x）=px2是下凸函数，则对任意实数x1，x2及α∈（0，1），
有h（αx1+（1-α）x2）-αh（x1）-（1-α）h（x2）=p（αx1+（1-α）x2）2-pαx12-p（1-α）x22=p[-α（1-α）x12-α（1-α）x22+2α（1-α）x1x2]=-pα（1-α）（x1-x2）2≤0．
即当p≥0时，h（αx1+（1-α）x2）≤αh（x1）+（1-α）h（x2）．
∴当p≥0时，h（x）=px2是下凸函数．
（3）对任意0≤n≤m，取x1=m，x2=0，α=
∈[0，1]．n m
∵f（x）是R上的下凸函数，an=f（n），且a0=0，am=2m
∴an=f（n）=f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2）=
×2m=2n．n m
那么Sf=a1+a2+…+am≤2×（1+2+…+m）=m2+m．
可证f（x）=2x是C函数，且使得an=2n（n=0，1，2，…，m）都成立，此时Sf=m2+m．
综上所述，Sf的最大值为m2+m．