问题
解答题
| 设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0． （1）若b=-12，求f（x）的单调递增区间； （2）如果函数f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围； （3）求证对任意的n∈N*，不等式ln
|
答案
（1）由题意知，f（x）的定义域为（-1，+∞），b=-12时，
由f′(x)=2x-
=12 x+1
=0，得x=2（x=-3舍去），2x2+2x-12 x+1
当x∈（-1，2）时，f'（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，
所以当x∈（2，+∞）时，f（x）单调递增．
（2）由题意f′(x)=2x+
=b x+1
=0在（-1，+∞）有两个不等实根，2x2+2x+b x+1
即2x2+2x+b=0在（-1，+∞）有两个不等实根，
设g（x）=2x2+2x+b，则
，△=4-8b＞0 g(-1)＞0
解之得0＜b＜1 2
（3）对于函数f（x）=x2-ln（x+1），令函数h（x）=x3-f（x）=x3-x2+ln（x+1）
则h′(x)=3x2-2x+
=1 x+1
，当x∈[0，+∞）时，h'（x）＞0，3x3+(x-1)2 x+1
所以函数h（x）在[0，+∞）上单调递增，
又h（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0
即x2＜x3+ln（x+1）恒成立．取x=
∈(0，+∞)，1 n
则有ln(
+1)＞1 n
-1 n2
恒成立．1 n3