问题 解答题

已知函数f(x)=lnx的图象是曲线C,点An(an,f(an))(n∈N*)是曲线C上的一系列点,曲线C在点An(an,f(an))处的切线与y轴交于点Bn(0,bn),若数列{bn}是公差为2的等差数列,且f(a1)=3.

(1)分别求出数列{an}与数列{bn}的通项公式;

(2)设O为坐标原点,Sn表示△AnBn的面积,求数列{Sn}的前n项和Tn

答案

(1)求导函数可得f′(x)=

1
x
,则曲线C在点An(an,f(an))处的切线方程为y-lnan=
1
an
(x-an

令x=0,则y-lnan=-1,∴bn=lnan-1

∴bn+1-bn=lnan+1-1-lnan+1=2

an+1
an
=e2

∵f(a1)=3,

∴ln(a1)=3,

∴a1=e3

∴an=e2n+1

∴bn=lnan-1=2n;

(2)Sn=

1
2
×bn×an=n×e2n+1

∴Tn=1×e3+2×e5+…+n×e2n+1

∴e2Tn=1×e5+2×e7+…+(n-1)×e2n+1+n×e2n+3

①-②可得Tn-e2Tn=1×e3+1×e5+…+1×e2n+1-n×e2n+3

∴Tn=

e3-e3+2n
(1-e2)2
-
e2n+3
1-e2

单项选择题 A1型题
填空题