问题
解答题
已知函数f(x)=lnx的图象是曲线C,点An(an,f(an))(n∈N*)是曲线C上的一系列点,曲线C在点An(an,f(an))处的切线与y轴交于点Bn(0,bn),若数列{bn}是公差为2的等差数列,且f(a1)=3.
(1)分别求出数列{an}与数列{bn}的通项公式;
(2)设O为坐标原点,Sn表示△AnBn的面积,求数列{Sn}的前n项和Tn.
答案
(1)求导函数可得f′(x)=
,则曲线C在点An(an,f(an))处的切线方程为y-lnan=1 x
(x-an)1 an
令x=0,则y-lnan=-1,∴bn=lnan-1
∴bn+1-bn=lnan+1-1-lnan+1=2
∴
=e2an+1 an
∵f(a1)=3,
∴ln(a1)=3,
∴a1=e3,
∴an=e2n+1
∴bn=lnan-1=2n;
(2)Sn=
×bn×an=n×e2n+11 2
∴Tn=1×e3+2×e5+…+n×e2n+1①
∴e2Tn=1×e5+2×e7+…+(n-1)×e2n+1+n×e2n+3②
①-②可得Tn-e2Tn=1×e3+1×e5+…+1×e2n+1-n×e2n+3
∴Tn=
-e3-e3+2n (1-e2)2 n×e2n+3 1-e2