问题 解答题
已知抛物线方程为y2=2px(p>0).
(Ⅰ)若点(2,2
2
)在抛物线上,求抛物线的焦点F的坐标和准线l的方程;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若过焦点F且倾斜角为60°的直线m交抛物线于A、B两点,点M在抛物线的准线l上,直线MA、MF、MB的斜率分别记为kMA、kMF、kMB,求证:kMA、kMF、kMB成等差数列.
答案

(Ⅰ)∵(2,2

2
)在抛物线y2=2px(p>0)上,

∴由(2

2
2=2p×2得p=2

∴抛物线的焦点坐标为F(1,0),准线l的方程为x=-1

(Ⅱ)证明:过焦点F(1,0)且倾斜角为60°的直线m的方程为y=

3
(x-1),与抛物线方程联立,消元可得3x2-10x+3=0,

∴x1=3,x2=

1
3

∴点A、B的坐标为A(3,2

3
),B(
1
3
-
2
3
3

∵抛物线的准线方程为x=-1,设点M的坐标为M(-1,t),

则kMA=

2
3
-t
4
,kMB=-
2
3
+3t
4
,kMF=-
t
2

∴kMA+kMB=

2
3
-t
4
-
2
3
+3t
4
=-t=2kMF

∴kMA、kMF、kMB成等差数列.

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