问题
解答题
已知抛物线方程为y2=2px(p>0). (Ⅰ)若点(2,2
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若过焦点F且倾斜角为60°的直线m交抛物线于A、B两点,点M在抛物线的准线l上,直线MA、MF、MB的斜率分别记为kMA、kMF、kMB,求证:kMA、kMF、kMB成等差数列. |
答案
(Ⅰ)∵(2,2
)在抛物线y2=2px(p>0)上,2
∴由(2
)2=2p×2得p=22
∴抛物线的焦点坐标为F(1,0),准线l的方程为x=-1
(Ⅱ)证明:过焦点F(1,0)且倾斜角为60°的直线m的方程为y=
(x-1),与抛物线方程联立,消元可得3x2-10x+3=0,3
∴x1=3,x2=
,1 3
∴点A、B的坐标为A(3,2
),B(3
,-1 3
)2 3 3
∵抛物线的准线方程为x=-1,设点M的坐标为M(-1,t),
则kMA=
,kMB=-2
-t3 4
,kMF=-2
+3t3 4 t 2
∴kMA+kMB=
-2
-t3 4
=-t=2kMF,2
+3t3 4
∴kMA、kMF、kMB成等差数列.