问题
解答题
设函数f(x)=-
(1)求实数a的取值范围; (2)当a取得最大值时,关于x的方程f(x)=x2-7x-m有3个不同的根,求实数m的取值范围. |
答案
(1)依题意得:f'(x)=-x2+2ax-2a∵f(x)在[1,2]上单调递减
∴f'(x)=-x2+2ax-2a≤0在[1,2]恒成立
即:当x=1时,a∈R当x≠1时,2a≤
在(1,2]恒成立x2 x-1
记g(x)=
=x-1+x2 x-1
+2则gmin(x)=41 x-1
∴只须a≤2
综上,a≤2
(2)当a=2时,方程f(x)=x2-7x-m有3个不同根等价于
-x2-3x+2-m=0有3个不同根x3 3
记g(x)=
-x2-3x+2-m则g'(x)=x2-2x-3x3 3
令g'(x)>0得x<-1或x>3令g'(x)<0得-1<x<3
∴g(x)在(-∞,-1),(3,+∞)递增,在(-1,3)递减
∴g极小(x)=g(3)=-7-mg极大(x)=g(-1)=
-m11 3
要使
-x2-3x+2-m=0有3个不同根x3 3
只须g极小(x)=g(3)=-7-m<0 g极大(x)=g(-1)=
-m>011 3
得-7<m<11 3