问题 解答题
设函数f(x)=-
1
3
x3+ax2-2ax-2
(a为常数),且f(x)在[1,2]上单调递减.
(1)求实数a的取值范围;
(2)当a取得最大值时,关于x的方程f(x)=x2-7x-m有3个不同的根,求实数m的取值范围.
答案

(1)依题意得:f'(x)=-x2+2ax-2a∵f(x)在[1,2]上单调递减

∴f'(x)=-x2+2ax-2a≤0在[1,2]恒成立

即:当x=1时,a∈R当x≠1时,2a≤

x2
x-1
在(1,2]恒成立

g(x)=

x2
x-1
=x-1+
1
x-1
+2则gmin(x)=4

∴只须a≤2

综上,a≤2

(2)当a=2时,方程f(x)=x2-7x-m有3个不同根等价于

x3
3
-x2-3x+2-m=0有3个不同根

g(x)=

x3
3
-x2-3x+2-m则g'(x)=x2-2x-3

令g'(x)>0得x<-1或x>3令g'(x)<0得-1<x<3

∴g(x)在(-∞,-1),(3,+∞)递增,在(-1,3)递减

∴g极小(x)=g(3)=-7-mg极大(x)=g(-1)=

11
3
-m

要使

x3
3
-x2-3x+2-m=0有3个不同根

只须

g极小(x)=g(3)=-7-m<0
g极大(x)=g(-1)=
11
3
-m>0

-7<m<

11
3

多项选择题
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