在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和Sn满足Sn（Sn-an）+2

问题解答题

在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项和S_n满足S_n（S_n-a_n）+2a_n=0
（Ⅰ）证明数列{

}是等差数列；
（Ⅱ）求S_n和数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅲ）设b n=

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

答案

证明：（I）∵当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，且S_n（S_n-a_n）+2a_n=0

∴S_n[S_n-（S_n-S_n-1）]+2（S_n-S_n-1）=0

即S_n•S_n-1+2（S_n-S_n-1）=0

即

Sn-1

又∵S₁=a₁=1，故数列{

}是以1为首项，以

为公差的等差数列

（II）由（I）得：

n+1

∴S_n=

n+1

当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

-2

n(n+1)

∵n=1时，

-2

n(n+1)

无意义

故a_n=

1，n=1

-2

n(n+1)

，n≥2

（III）∵bn=

n(n+1)

=2（

n+1

）

∴T_n=2（1-

+…+

n+1

）=2（1-

n+1

）=

n+1