问题
解答题
已知椭圆C：
（I ）求椭圆C的方程； （II）若以点O为端点的两条射线与椭圆c分别相交于点M，N且
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答案
（I）∵椭圆C：
+x2 a2
=1（a＞b＞0）经过A（2，0）和B（1，y2 b2
）两点，3 2
∴
，a=2
+1 a2
=19 4b2
∴a=2，b=3
∴椭圆C的方程为
+x2 4
=1；y2 3
（II）证明：①当直线MN的斜率不存在时，其方程为x=±
，则点O到直线MN的距离为2 21 7
；2 21 7
②当直线MN的斜率存在时，其方程为y=kx+m，设M，N两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
将y=kx+m代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，则x1+x2=-
，x1x2=8km 3+4k2 4m2-12 3+4k2
令△＞0，解得m2＜4k2+3，
∵
丄MN
，∴x1x2+y1y2=0，ON
∴（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，
∴（1+k2）•
-km•4m2-12 3+4k2
+m2=0，8km 3+4k2
∴m2=
＜4k2+312(k2+1) 7
∴点O到直线MN的距离为d=
=|m| 1+k2
，2 21 7
由①②可得点O到直线MN的距离为定值
．2 21 7