问题
解答题
| 已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1（n∈N+，且n≥2），a4=81． （1）求数列的前三项a1，a2，a3； （2）数列{
（3）求数列{an}的前n项和Sn． |
答案
（1）由an=2an-1+2n-1（n∈N+，且n≥2）得a4=2a3+24-1=81，得a3=33
同理，得a2=13，a1=5…（4分）
（2）对于n∈N，且n≥2，
∵
-an+p 2n
=an-1+p 2n-1
=an-2an-1-p 2n
=1-2n-1-p 2n 1+p 2n
又数列{
}为等差数列，∴an+p 2n
-an+p 2n
是与n无关的常数，an-1+p 2n-1
∴1+p=0，p=-1…（8分）
（3）由（2）知，等差数列{
}的公差为1，an+p 2n
∴
=an-1 2n
+(n-1)=n+1，得an=(n+1)•2n+1．…（9分）a1-1 2
∴Sn=a1+a2+…+an=2×2+3×22+4×23+…+（n+1）×2n+n，
记Tn=2×2+3×22+4×23+…+(n+1)×2n，则有2Tn=+2×22+3×23+4×24+…+n×2n+(n+1)×2n+1，
两式相减，得 Tn=n×2n+1，
故 Sn=n×2n+1+n=n(2n+1+1)．…（13分）