问题
填空题
从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b2，4b2]，则该椭圆离心率e的取值范围是 ______．
答案
设椭圆的标准方程为
+x2 a2
=1，y2 b2
在第一象限内取点（x，y），设x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜
）π 2
则椭圆的内接矩形长为2acosθ，宽为2bsinθ，
内接矩形面积为2acosθ•2bsinθ=2absin2θ≤2ab，
由已知得：3b2≤2ab≤4b2，
3b≤2a≤4b，
平方得：9b2≤4a2≤16b2，
9（a2-c2）≤4a2≤16（a2-c2），
5a2≤9c2且12 a2≥16 c2，
∴
≤5 3
≤c a 3 2
即e∈[
，5 3
]3 2
故答案为：[
，5 3
]3 2