问题 解答题
(已知数列{an}中,a1=5且an=2an-1+2n-l(n≥2且n∈N*.)
(I)证明:数列{
an-1
2n
}
为等差数列:
(II)求数列{an-1}的前n项和Sn
答案

(I)设bn=

an-1
2n
,则b1=
5-1
2
=2…2分,

bn+1-bn=

an+1-1
2n+1
-
an-1
2n
=
1
2n+1
[(2n+1-1)+1]=1…4分

∴数列{

an-1
2n
}为首项是2,公差是1的等差数列…5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

an-1
2n
=
a1-1
2
+(n-1)×1,

∴an-1=(n+1)•2n…7分

∵Sn=2•21+3•22+…+n•2n-1+(n+1)•2n

∴2Sn=2•22+3•23+…+n•2n+(n+1)•2n+1②…9分

①-②,得:-Sn=4+(22+23+…+2n)-(n+1)•2n+1

∴Sn=-4-4(2n-1-1)+(n+1)•2n+1

∴Sn=n•2n+1…12分

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