问题
解答题
| 已知定义域为[0，1]的函数f （x）同时满足： ①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0； ②f（1）=1； ③若0≤x1≤1，0≤x2≤1，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）． （1）试求f（0）的值； （2）试求函数f （x）的最大值； （3）试证明：当x∈(
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答案
（1）令x1=x2=0，依条件③可得f（0+0）≥2f（0），即f（0）≤0
又由条件（1）得f（0）≥0 故f（0）=0（4分）
（2）任取0≤x1＜x2≤1可知x2-x1∈（0，1]，则
f（x2）=f[（x2-x1）+x1]≥f（x2-x1）+f（x1）≥f（x1）
于是当0≤x≤1时，有f（x）≤f（1）=1因此当x=1时，f（x）取最大值1．（9分）
（3）证明：当x∈(
，1]时，f（x）≤f（1）=11 2
当x∈(
，1 4
]时，1 2
＜2x≤1，f（2x）≤1，f（2x）≥f（x）+f（x）=2f（x）1 2
∴f（x）≤
f（2x）≤1 2
＜2x 即f（x）＜2x．（14分）1 2