问题
解答题
| 函数f（x）的定义域为R，数列{an}满足an=f（an-1）（n∈N*且n≥2）． （Ⅰ）若数列{an}是等差数列，a1≠a2，且f（an）-f（an-1）=k（an-an-1）（k为非零常数，n∈N*且n≥2），求k的值； （Ⅱ）若f（x）=kx（k＞1），a1=2，bn=lnan(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Sn，对于给定的正整数m，如果
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答案
（本小题共13分）
（Ⅰ）当n≥2时，
因为an=f（an-1），f（an）-f（an-1）=k（an-an-1），
所以an+1-an=f（an）-f（an-1）=k（an-an-1）．
因为数列{an}是等差数列，所以an+1-an=an-an-1．
因为 an+1-an=k（an-an-1），所以k=1．…（6分）
（Ⅱ）因为f（x）=kx，（k＞1），a1=2，且an+1=f（an），
所以an+1=kan．
所以数列{an}是首项为2，公比为k的等比数列，
所以an=2•kn-1．
所以bn=lnan=ln2+（n-1）lnk．
因为bn-bn-1=lnk，
所以{bn}是首项为ln2，公差为lnk的等差数列．
所以 Sn=
=n[ln2+(b1+bn)n 2
•lnk]．n-1 2
因为
=S(m+1)n Smn (m+1)n[ln2+
lnk](m+1)n-1 2 mnln2+
lnk]mn-1 2
=
，(m+1)[(m+1)nlnk+2ln2-lnk] m[mnlnk+2ln2-lnk]
又因为
的值是一个与n无关的量，S(m+1)n Smn
所以
=2ln2-lnk mnlnk
，2ln2-lnk (m+1)nlnk
解得k=4．…（13分）