已知椭圆C1：y216+x24=1，椭圆C2以C1的短轴为长轴，且与C1有相同的

问题解答题

已知椭圆C₁：

=1，椭圆C₂以C₁的短轴为长轴，且与C₁有相同的离心率．
（I）求椭圆C₂的方程；
（II）设直线l与椭圆C₂相交于不同的两点A、B，已知A点的坐标为（-2，0），点Q（0，y₀）在线段AB的垂直平分线上，且

•

=4，求直线l的方程．

答案

（I）设椭圆C₂的方程为

=1（a＞b＞0）

∵椭圆C₁：

=1，椭圆C₂以C₁的短轴为长轴，且与C₁有相同的离心率

∴a=2，e=

∴c=

∴b=

a2-c2

∴椭圆C₂的方程为

+y2=1；

（II）点A的坐标是（-2，0）．

设点B的坐标为（x₁，y₁），直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+2）．

与椭圆C₂的方程联立，整理得（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0

∴-2x₁=

16k2-4

1+4k2

，得x₁=

-8k2+2

1+4k2

，从而y₁=

1+4k2

设线段AB的中点为M，得到M的坐标为（-

8k2

1+4k2

，

1+4k2

）

①当k=0时，点B的坐标是（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，

∴

=（-2，-y₀），

=（2，-y₀）．

由

•

=4得y₀=±2

，∴l的方程为y=0；

②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为y-

1+4k2

(x+

8k2

1+4k2

)

令x=0，解得y₀=-

1+4k2

∴

=（-2，-y₀），

=（x₁，y₁-y₀）．

∴

•

=（-2，-y₀）•（x₁，y₁-y₀）=-2•

-8k2+2

1+4k2

（

1+4k2

）=4

∴7k²=2

∴k=±

，

∴l的方程为y=±

(x+2)．