若椭圆和双曲线有相同焦点F1，F2，点P是两条曲线的一个公共点，

问题填空题

若椭圆和双曲线有相同焦点F₁，F₂，点P是两条曲线的一个公共点，并且

PF1

•

PF2

=0，e₁，e₂分别为它们的离心率，则

的值是______．

答案

由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，不妨令P在双曲线的右支上

由双曲线的定义|PF₁|-|PF₂|=2m ①

由椭圆的定义|PF₁|+|PF₂|=2a ②

又∠F₁PF₂=90⁰，故|PF₁|²+|PF₂|²=4c² ③

①²+②²得|PF₁|²+|PF₂|²=2a²+2m²④

-①²+②²得|PF₁||PF₂|=a²-m²⑤

将④⑤代入③得a²+m²=c²，即

=1，即

故答案为2