问题
解答题
已知数列{an}是首项为a1=
（I）求证：数列{bn}是等差数列； （II）求数列{cn}的前n项和Sn． |
答案
（I）证明：∵a1=
，公比q=1 2
，1 2
∴an=
•(1 2
)n-1=(1 2
)n，1 2
∴log
an=n，1 2
又bn+2=3log
an=3n，1 2
∴bn=3n-2，b1=1，
∴bn+1=3（n+1）-2，
∴bn+1-bn=3，
∴{bn}是1为首项，3为公差的等差数列；
（II）由（Ⅰ）知bn=3n-2，an=(
)n，1 2
∴cn=an•bn=（3n-2）•(
)n，1 2
∴Sn=1×(
)1+4×(1 2
)2+7×(1 2
)3+…+（3n-2）×(1 2
)n ①1 2
Sn=1×(1 2
)2+4×(1 2
)3+7×(1 2
)4+…+（3n-5）×(1 2
)n+（3n-2）×(1 2
)n+1②1 2
故①-②得：
Sn=1×1 2
+3×(1 2
)2+3×(1 2
)3+3×(1 2
)4+…+3×(1 2
)n-（3n-2）×(1 2
)n+11 2
∴
Sn=1 2
+3×1 2
-（3n-2）×((
)2[1-(1 2
)n-1]1 2 1- 1 2
)n+1=2-1 2
，4+3n 2n+1
∴Sn=4-
．4+3n 2n