问题
解答题
| 在数列{an}中，Sn是数列{an}前n项和，a1=1，当n≥2时，2SnSn-1=-an （I）求证：数列{
（II）设bn=
（III）是否存在自然数m，使得对任意自然数n∈N*，都有Tn＞
|
答案
证明：（I）∵当n≥2时，2SnSn-1=-an=Sn-1-Sn
两边同除SnSn-1得：2=
-1 Sn 1 Sn-1
∵a1=1，
∴
=11 S1
即{
}是以1为首项，以2为公差的等差数列1 Sn
（II）由（I）得
=2n-11 Sn
即Sn=1 2n-1
∴bn=
=Sn 2n+1
=1 (2n-1)(2n+1)
（1 2
-1 2n-1
）1 2n+1
∴Tn=b1+b2+…+bn=
[（1-1 2
）+（1 3
-1 3
）+…+（1 5
-1 2n-1
）]=1 2n+1
（1-1 2
）=1 2n+1 n 2n+1
（III）令T（x）=
，则T′（x）=x 2x+1 1 (2x+1)2
则T（x）在[1，+∞）上是增函数，
故当n=1时，Tn取最小值1 3
若对任意自然数n∈N*，都有Tn＞
(m-8)成立1 4
只要T1＞
(m-8)1 4
即
＞1 3
(m-8)1 4
解得m＜
，28 3
由m∈N*，
∴m的最大值为9
