问题
解答题
| 已知数列{an}中，a1=0，an+1=an•q+qn+1（q＞0），bn=an+2n，n=1，2，3，…． （I）求证数列{
（II）试比较b1b3与b22的大小； （III）求正整数k，使得对于任意的正整数n，
|
答案
（I）∵an+1=an•q+qn+1（q＞0）
∴
=an+1 qn+1
=an•q+qn+1 qn+1
+1，又an qn
=0，a1 q
即数列{
}是以0为首项，1为公差的等差数列（3分）an qn
且
=n-1，an=（n-1）qn（n=1，2，3）an qn
（II）bn=an+2n=（n-1）qn+2n（4分）
∴b1=2，b2=q2+4，b3=2q3+8（5分）
∴b22-b1b3=（q2+4）2-2（2q3+8）=（q4+8q2+16）-4q3-16=q4-4q3+8q2=q2（q2-4q+8）=q2[（q-2）2+4]＞0
∴b22＞b1b3（8分）
（III）∵bn=（n-1）qn+2n，n=1，2，3，…，∴bn＞0
b1=2，b2=q2+4，bn+1=nqn+1+2n+1
-bn bn+1
=b1 b2 b2bn-b1bn+1 b2bn+1
又b2bn-b1bn+1=（q2+4）[（n-1）qn+2n]-2（nqn+1+2n+1）
=[（q2+4）（n-1）-2nq]qn+q2•2n
①当n=1时，b2bn-b1bn+1=0，即
=b1 b2 bn bn+1
②当n≥2时，∵q＞0，q2+4≥2•q•2=4q
∴（q2+4）（n-1）-2nq≥4（n-1）q-2nq=2（n-2）q≥0又q2•2n＞0
∴b2bn-b1bn+1＞0
由①②得
-bn bn+1
=b1 b2
≥0，即对于任意的正整数n，b2bn- b1bn+1 b2bn+1
≤b1 b2
恒成立bn bn+1
故所求的正整数k=1．