（Ⅰ）证明：∵函数f（x）=x-4

x

+4（x≥4），即y=x-4

x

+4（x≥4），

∴x=

y

+2（y≥0），∴f-1(x)=(

x

+2)2 （x≥2），

∴a_n+1=f^-1（a_n）=(

an

+2)2，

即

an+1

-

an

=2 （n∈N^*）．

∴数列{

an

}是以

a1

=1为首项，公差为2的等差数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：

an

=1+2(n-1)=2n-1，

即an=(2n-1)2 （n∈N^*）．

由b₁=1，当n≥2时，bn-bn-1=1×(

1

3

)n-1=(

1

3

)n-1，

∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）

=1+

1

3

+(

1

3

)2+…+(

1

3

)n-1

=

1×(1-( 1 3 )n)

1- 1 3

=

3

2

(1-

1

3n

)．

因而bn=

3

2

(1-

1

3n

) （n∈N^*）．

由c_n=

an

•b_n，得：cn=

(2n-1)2

•

3

2

(1-

1

3n

)=

3

2

(2n-1)(1-

1

3n

)，

∴S_n=c₁+c₂+…+c_n

=

3

2

(1-

1

3

)+

3

2

(3-

3

32

)+

3

2

(5-

5

33

)+…+

3

2

(2n-1-

2n-1

3n

)

=

3

2

[(1+3+5+…+2n-1)-(

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-1

3n

)]．

令Tn=

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-1

3n

   ①

则

1

3

Tn=

1

32

+

3

33

+

5

34

+…+

2n-3

3n

+

2n-1

3n+1

  ②

①-②得，

2

3

Tn=

1

3

+2(

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

)-

2n-1

3n+1

=

1

3

+

2× 1 9 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

2n-1

3n+1

=

1

3

+

1

3

(1-

1

3n-1

)-

2n-1

3n+1

．

∴Tn=1-

n+1

3n

．

又1+3+5+…+（2n-1）=n²．

∴Sn=

3

2

(n2-1+

n+1

3n

)．