问题
解答题
已知△ABC的三个顶点均在椭圆4x2+5y2=80上，且点A在y轴的正半轴上．
（Ⅰ）若△ABC的重心是椭圆的右焦点F2，试求直线BC的方程；
（Ⅱ）若∠A=90°，试证直线BC恒过定点．
答案
（Ⅰ）设B（x1，y1），C（x2，y2）．
整理椭圆方程得
+x2 20
=1，∴短轴b=4，a=2 y2 16 5
∴c=
=2，20-16
则A（0，4 ），F1（2，0）
∴
=2，x1+x2=60+x1+x2 3
同理y1+y2=-4
又
+x12 20
=1，y12 16
+x22 20
=1，y22 16
两式相减可得4（x1+x2）+5（y1+y2）×k=0，
∴k=
（k为BC斜率）6 5
令BC直线为：y=
x+b，则y1+y2=6 5
（x1+x2）+2b6 5
∴b=-28 5
∴BC直线方程为：y=
x-6 5 28 5
即5y-6x+28=0．…（7分）
（Ⅱ）由AB⊥AC，得
•AB
=x1x2+y1y2-4（y1+y2）+16=0 （1）AC
设直线BC方程为y=kx+b代入4x2+5y2=80，得（4+5k2）x2+10bkx+5b2-80=0
∴x1+x2=
，x1x2=-10kb 4+5k2 5b2-80 4+5k2
∴y1+y2=k（x1+x2）+2b=
，y1y2=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2=8k 4+5k2 4b2-80k2 4+5k2
代入（1）式得，
=0，9b2-32b-16 4+5k2
解得b=4（舍）或b=-4 9
故直线BC过定点（0，-
）．4 9
