（1）∵F（X）=f（x）-g（x）=e^x+sinx-ax．

∴F′（x）=e^x+cosx-a．

因为x-=0是F（x）的极值点，

所以F′（0）=e⁰+cos0-a=0，所以a=2．

当x＜0时，F′（x）=e^x+cosx-a＜1+1-2=0；

当x≥0时，则φ（x）=e^x+cosx-a，φ′（x）=e^x-sinx≥1-1=0；

所以函数Fx）在[0，+∞）上递增，从而F′（x）≥F′（0）=1+1-a=2-2=0．

于是x=0是函数F（x）的极小值点．

∴a=2符合题意．

（2）因为a=

1

3

，由f（x₁）=g（x₂）得x₂=3（e^x+sinx₁），

∴x₂-x₁=3（（e^x+sinx₁-

1

3

x₁），所以求x₂-x₁的最小值即求a=

1

3

时函数3F（x）在[0，+∞）上的最小值，

由（1）得F′（x）=e^x+cosx-a在[0，+∞）上递增，

从而F′（x）≥F′（0）=1+1-a=2-

1

3

＞0，

所以F（x）在[0，+∞）上递增，所以3F（x）≥3F（0）≥3．

∴x₂-x₁得最小值为3．

（3）令h（x）=F（x）-F（-x）=e^x-e^-x+2sinx-2ax，

则h′（x）=e^x+e^-x+2cosx-2a．

令t（x）=h′（x），t′（x）=e^x-e^-x-2sinx，

令s（x）=t′（x），s′（x）=e^x+e^-x-2cosx．

∵s′（x）=e^x+e^-x-2cosx≥2-2=0，

∴t′（x）在[0，+∞）递增，从而t′（x）≥t′（0）=0，

∴h′（x）在[0，+∞）递增，从而h′（x）≥h′（0）=4-2a．

当a≤2时，h′（x）≥0，∴h（x）在[0，+∞）递增，即h（x）≥h（0）=0

∴当a≤2时，F（x）-F（-x）≥0对x∈[0，+∞）时恒成立；

当a＞2时，h′（x）＜0，

又∵h′（x）在[0，+∞）递增，

所以总存在x₀∈（0，+∞）使得在区间[0，x₀）上h′（x）＜0，

导致h（x）在[0，x₀）上递减，而h（0）=0，

∴当x∈（0，x₀）时，h（x）＜0

这与F（x）-F（-x）≥0对x∈[0，+∞）时恒成立不符，

所以a＞2不合题意．

综上：a的取值范围：（-∞，2]