①若区间D内任意实数x都有f（x+1）＞f（x），但不一定满足增函数的定义，则y=f（x）在D上是增函数错误；

②y=-

1

x

在（-∞，0）和（0，+∞）上均为增函数，但在其定义域内不是增函数，故②错误；

③∵函数f(x)=

1-x2

|x+1|-1

为奇函数，∴函数f(x)=

1-x2

|x+1|-1

的图象关于原点对称，故③正确；

④将方程ax2+

1

x

=3x改写为

1

x

=3x-ax2，令 y1=

1

x

，y₂=3x-ax²．

“关于实数x的方ax2+

1

x

=3x的所有解中，仅有一个正数解”等价于“双曲线y1=

1

x

与y₂=3x-ax²的图象在y轴右侧只有一个交点”．

双曲线y1=

1

x

在第一、三象限内．

当a＞0时，抛物线y₂=3x-ax²的开口向下且过原点（0，0）及x轴正半轴上的点 （3a，0），研究知，当a＜2时，双曲线y1=

1

x

与抛物线y₂=3x-ax²在第一象限内有两个交点，当a＞2时，两曲线在第一象限无交点，当a=2进，两曲线仅有一个交点，故a=2符合题意．

当a=0时，y₂=3x-ax²为直线，此时，双曲线y1=

1

x

与直线y₂=3x在第一象限内只有一个交点，故a=0符合题意．

当a＜0时，抛物线y₂=3x-ax²的开口向上且过原点（0，0）及x轴负半轴上的点 （3a，0），此时，双曲线 y1=

1

x

与抛物线y₂=3x-ax²在第一象限内仅有一个交点，故a＜0符合题意．

综上所述，实数a的取值范围为（-∞，0]∪{2}．，故④错误；

故答案为：③