问题
解答题
| 已知f（x）是定义在R上的函数，f（1）=1，且∀x1，x2∈R，总有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1恒成立． （Ⅰ）求证：f（x）+1是奇函数； （Ⅱ）对∀n∈N*，有an=
（Ⅲ）求F（n）=an+1+an+2+…+a2n（n≥2，n∈N）的最小值． |
答案
（1）证明：f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，
令x1=x2=0得f（0）=-1，再令x1=x，x2=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）+1
∴f（-x）+1=-[f（x）+1]，
函数f（x）+1是奇函数．
（2）令x1=n，x2=1得f（n+1）=f（n）+2，所以f（n）=2n-1，an=
，bn=2×1 2n-1
-1+1=1 2n+1
，1 2n
∴anan+1=
=1 (2n-1)(2n+1)
(1 2
-1 2n-1
)1 2n+1
Sn=
(1-1 2
)=1 2n+1 n 2n+1
又
=(2n-1)bn an
，1 2n
Tn=1×
+3×1 2
+…+(2n-1)1 22
①1 2n
Tn=1×1 2
+3×1 22
+…+(2n-1)1 23
②1 2n+1
由①-②得出
Tn=1 2
+(1 2
+1 2
+… +1 22
)-(2n-1)1 2n-1 1 2n+1
=
+(1-1 2
)-(2n-1)1 2n-1 1 2n+1
计算整理得出得
Tn=3-2n+3 2n
（3）∵F(n+1)-F(n)=a2n+1+a2n+2-an+1=
＞01 (4n+1)(4n+3)(2n+1)
∴F（n+1）＞F（n）．又n≥2，
∴F（n）的最小值为F(2)=a3+a4=12 35
