问题
解答题
在两个各项均为正数的数列an、bn（n∈N*）中，已知an、bn2、an+1成等差数列，并且bn2、an+1、bn+12成等比数列．
（Ⅰ）证明：数列bn是等差数列；
（Ⅱ）若a1=2，a2=6，设cn=(an-n2)•qbn（q＞0为常数），求数列cn的前n项和Sn
答案
（I）由题意知
，2bn2=an+an+1 an+12=bn2•bn+12
又∵数列an、bn各项都是正数，∴an+1=bnbn+1，则an=bn-1bn
代入2bn2=an+an+1，得2bn2=bn-1bn+bnbn+1
即2bn=bn-1+bn+1，所以数列bn是等差数列．
（II）∵a1=2，a2=6，又2bn2=an+an+1，得2b12=a1+a2=8，解得b1=2
又∵a2=b1b2=6∴b2=3，由（I）知数列bn是等差数列，则公差d=b2-b1=1
∴bn=b1+（n-1）d=2+n-1=n+1，
又an=bn-1bn，得an=n（n+1）=n2+n，
∴cn=(an-n2)•qbn=nqn+1，
则当q=1时，cn=n，此时Sn=
；n(n+1) 2
当q≠1时，Sn=c1+c2++cn=1×q2+2×q3++nqn+1，①
所以qSn=qc1+qc2++qcn=1×q3+2×q4++nqn+2②
由①-②，得(1-q)Sn=q2+q3+qn+1-nqn+2=
-nqn+2，q2(1-qn) 1-q
即Sn=
-q2(1-qn) (1-q)2 nqn+2 1-q
综上可知，Sn=
，(q=1)n(n+1) 2
-q2(1-qn) (1-q)2
，(q≠1)nqn+2 1-q