问题
解答题
| 椭圆C中心为坐标原点，点（2，0），（0，1）是它的两个顶点，F为右焦点，点A、B在椭圆上． （1）求椭圆C的方程； （2）若A、F、B三点共线，求
（3）若∠AFB=
|
答案
（1）由题意得 a=2，b=1，焦点在x轴上，
故椭圆的方程为
+y2=1．x2 4
（2）设A（x，y），则F （
，0），3
AF=
=(x-
)2+y23
=(x-
)2+1-3 x2 4
，
x2-23 4
x+43
∵x∈[-2，2]，∴当x=-2时，AF取最大值2+
，3
当x=2时，AF取最小值2-
，3
且当AF取最大值2+
时，BF取最小值2-3
；3
当AF取最小值2-
时，BF取最大值2+3
．3
所以，
∈[7-4AF BF
，7+43
]．3
（3）过A、B作右准线l垂线，垂足分别为C、D，则2MM’=AC+BD
由椭圆第二定义，AF=eAC，BF=eBD，所以AF+Bf=e（AC+BD），
所以MM’=
(AF+BF)，3 3
=|MM′| |AB|
(AF+BF)3 3AB
由余弦定理得cos
=-2π 3
=1 2
，从而，AF2+BF2-AB2 2AF•BF
AB2=AF2+BF2+AF•BF=（AF+BF）2-AF•BF ≥(AF+BF)2-(
)2=AF+BF 2
(AF+BF)2，3 4
则(
)2=[|MM′| |AB|
]2≤
(AF+BF)3 3AB
，4 9
的最大值为|MM′| |AB|
．2 3