问题
解答题
已知函数f(x)=alnx+
（1）当a＞0时，求该函数的单调区间和极值； （2）当a＞0时，若对∀x＞0，均有ax（2-lnx）≤1，求实数a的取值范围． |
答案
（1）令f/(x)=
-a x
＞0⇒x＞1 x2
⇒函数f（x）的单调增区间是(1 a
，+∞)；1 a
令f/(x)=
-a x
＜0⇒x＜1 x2
⇒函数f（x）的单调减区间是(0，1 a
)，且当x=1 a
时，函数有极小值且极小值为f(1 a
)=a(1-lna)；1 a
（2）当a＞0时，若对∀x＞0，均有ax（2-lnx）≤1，即∀x＞0，2a≤alnx+
成立，则必须∀x＞0，2a≤f（x）min．1 x
而由（1）知，函数f（x）的极小值即为最小值，
于是：2a≤f（x）min=a（1-lna），解之得：0＜a≤
．1 e