问题 解答题
如果f(x)在某个区间I内满足:对任意的x1,x2∈I,都有
1
2
[f(x1)+f(x2)]≥f(
x1+x2
2
)
,则称f(x)在I上为下凸函数;已知函数f(x)=
1
x
-alnx

(Ⅰ)证明:当a>0时,f(x)在(0,+∞)上为下凸函数;
(Ⅱ)若f'(x)为f(x)的导函数,且x∈[
1
2
,2]
时,|f'(x)|<1,求实数a的取值范围.
答案

(Ⅰ)任取x1,x2∈(0,+∞),则

1
2
[f(x1)+f(x2)]=
1
2
[
1
x1
-alnx1+
1
x2
-alnx2]
=
x1+x2
2x1x2
-aln
x1x2
,…(2分)

f(

x1+x2
2
)=
2
x1+x2
-aln
x1+x2
2
,…(3分)

∵x12+x22≥2x1x2,∴(x1+x22≥4x1x2

x1>0,x2>0,

x1+x2
2x1x2
2
x1+x2
,…(5分)

x1+x2
2
x1x2
,a>0,

-aln

x1x2
≥aln
x1+x2
2

1
2
[f(x1)+f(x2)]≥f(
x1+x2
2
).

∴f(x)为(0,+∞)上的下凸函数…(7分)

答:f(x)为(0,+∞)上的下凸函数

(Ⅱ)先对所给的函数求导得到f′(x)=-

1
x2
-
a
x
,…(9分)

|f′(x)|<1,即|

1
x2
+
a
x
|<1,

-(x+

1
x
)<a<x-
1
x
,…(11分)

x∈[

1
2
,2]时,|f′(x)|<1恒成立,

g(x)=-(x+

1
x
),h(x)=x-
1
x

则有gmax(x)<a<hmin(x),

g(x)=-(x+

1
x
)在[
1
2
,1]
上为增函数,在[1,2]上为减函数

∴gmax(x)=g(1)=-2…(12分),

h(x)=x-

1
x
[
1
2
,2]
上为增函数,

hmin(x)=h(

1
2
)=-
3
2
…(13分)

a∈(-2,-

3
2
)…(14分)

答:实数a的取值范围是(-2,-

3
2

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