问题
解答题
| 数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列． （1）求a1； （2）求数列{an}的通项公式； （3）设数列{bn}的前n项和为Tn，且bn=
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答案
（1）∵对于任意的n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列．
∴2Sn=an+
，a 2n
令n=1，得2a1=2S1=a1+
，解得a1=1．a 21
（2）当n≥2时，由2Sn=an+
，2Sn-1=an-1+a 2n
，a 2n-1
得2an=an+
-an-1-a 2n
，a 2n-1
∴（an+an-1）（an-an-1-1）=0，
∵∀n∈N*，an＞0，∴an-an-1=1，
∴数列{an}是公差为1的等差数列，
∴an=1+（n-1）×1=n．
（3）由（2）可得bn=
．1 n2
当n≥2时，bn＜
=1 n(n-1)
-1 n-1
，1 n
∴Tn＜1+(1-
)+(1 2
-1 2
)+…+(1 3
-1 n-1
)=2-1 n
＜2．1 n
当n=1时，T1=bn=1＜2．
∴对任意正整n，总有Tn＜2．