已知曲线C：f（x）=x2，C上的点A0，An的横坐标分别为1和an（n∈N*）

问题解答题

已知曲线C：f（x）=x²，C上的点A₀，A_n的横坐标分别为1和a_n（n∈N^*），且a₁=5，数列{x_n}满足xn+1=t•f(xn-1)+1(t＞0且t≠

，t≠1)，设区间D_n=[1，a_n]（a_n＞1），当x∈D_n时，曲线C上存在点P_n（x_n，f（x_n）），使得点P_n处的切线与直线A₀A_n平行．
（1）证明：{log_t（x_n-1）+1}是等比数列；
（2）当D_n+1⊊D_n对一切n∈N^*恒成立时，求t的取值范围；
（3）记数列{a_n}的前n项和为S_n，当t=

时，试比较S_n与n+7的大小，并证明你的结论．

答案

（1）∵由线在点P_n的切线与直线AA_n平行，

∴2xn=

an2-1

an-1

，即xn=

an+1

，

由x_n+1=tf（x_n+1-1）+1，得x_n+1-1=t（x_n-1）²，

∴log_t（x_n+1-1）=1+2log_t（x_n-1），

即log_t（x_n+1-1）+1=2[log_t（x_n-1）+1]，

∴{log_t（x_n-1）+1}是首项为log_t2+1，公比为2的等比数列．

（2）由（1）得log_t（x_n-1）+1=（log_t2+1）•2^n-1，

∴xn=1+

(2t)2n-1．

从而an=2xn-1=1+

(2t)2n-1，

由D_n+1⊊D_n对一切n∈N^*恒成立，

得a_n+1＜a_n，

即(2t)2n＜(2t)2n-1，

∴0＜2t＜1，

即0＜t＜

．

（3）当t=

时，an=1+8×(

)2n-1，

∴Sn=n+8[

)2+(

)4+…+(

)2n-1]，

当n≤3时，2^n-1≤n+1；

当n≥4时，2^n-1＞n+1，

∴当n≤3时，Sn≤n+8[

)2+(

)4]=n+

＜n+7．

当n≥4时，S_n＜n+8[

)2+(

)3+(

)4+…+(

)n+1]

=n+7-(

)n-2

＜n+7．

综上所述，对任意的n∈N^*，都有S_n＜n+7．