问题
解答题
已知函数f（x）=3x2+1，g（x）=2x，数列{an}满足对于一切n∈N*有an＞0，且f(an+1)-f(an)=g(an+1+
（1）求证：数列{an}为等比数列，并指出公比； （2）若k+l=9，求数列{bn}的通项公式． （3）若k+l=M0（M0为常数），求数列{an}从第几项起，后面的项都满足an＞1． |
答案
（1）∵f(an+1)-f(an)=g(an+1+
)3 2
∴3(an+1)2+1-3an2-1=2(an+1+
)，即6a^=2an+1⇒3 2
=3an+1 an
故数列{an}为等比数列，公比为3．
（2）bn=logana⇒
=logaan⇒1 bn
-1 bn+1
=loga1 bn
=loga3an+1 an
所以数列{
}是以1 bn
为首项，公差为loga3的等差数列．1 b1
又loga3=
=
k-1 b
l1 b k-l
=-3⇒a=3-1+3l-1-3k k-l
=(1 3
)1 3 1 3
又
=1 bk
+(k-1)(-3)=1+3l，且k+l=91 b1
∵
=3(k+l)-2=251 b1
∴
=25+(n-1)(-3)=28-3n⇒bn=1 bn 1 28-3n
（3）∵k+l=M0⇒
=3M0-21 b1
∴
=3M0-2+(n-1)(-3)=3M0-3n+11 bn
假设第m项后有an＞1
∵a=(
)1 3
∈(0，1)⇒1 3
=logaan＜01 bn
即第m项后
＜0，1 bn
于是原命题等价于
⇒
＞01 bm
＜01 bm+1
⇒M0-3M0-3m+1＞0 3M0-3(m+1)+1＜0
＜m＜M0+2 3 1 3
∵m，M∈N*⇒m=M0故数列{an}从M0+1项起满足an＞1．