（1）证明：∵a²=5，b²=1

∴F₁（-2，0），F₂（2，0）

若AB斜率存在，设直线AB：y=k（x-2）

由

y=k(x-2) x2 5 +y2=1

⇒(5k2+1)x2-20k2x+20k2-5=0

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：x1+x2=

20k2

5k2+1

．x1•x2=

5(4k2-1)

5k2+1

∵|F2A|=a-ex=

5

-

2

5

x1，|F2B|=

5

-

2

5

x2

∴

1

|F2A|

+

1

|F2B|

=

2 5 - 2 5 (x1+x2)

5-2(x1+x2)+ 4 5 x1x2

=2

5

为定值．

当AB⊥x轴时，

1

|F2A|

+

1

|F2B|

=2

5

也成立．

∴

1

|F2A|

+

1

|F2B|

=定值．

（2）设AB倾斜角为θ

|AB|=|F2A|+|F2B|=2

5

-

2

5

(x1+x2)=

2 5 (1+k2)

5k2+1

=

2 5

cos2θ+5sin2θ

设F₁到AB距离为d．则d=2•csinθ=4sinθ．

∴S△F1AB=

4 5 sinθ

cos2θ+5sin2θ

=

4 5 sinθ

1+4sin2θ

．

∴0＜θ＜π

∴sinθ＞0

∴S△F1AB=

4 5

1 sinθ +4sinθ

≤

5

．

当且仅当sinθ=

1

2

，即θ=30°或150°，△F₁AB面积的最大值为

5

．