问题
解答题
公民在就业的第一年就交纳养老储备金a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d＞0），历年所交纳的储备金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．如果固定年利率为r（r＞0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1+r）n-1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1+r）n-2，…以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额．
求证：Tn=An+Bn，其中{An}是一个等比数列，{Bn}是一个等差数列．
答案
T1=a1，对n≥2反复使用上述关系式，得
Tn=Tn-1（1+r）+an=Tn-2（1+r）2+an-1（1+r）+an═a1（1+r）n-1+a2（1+r）n-2++an-1（1+r）+an，①
在①式两端同乘1+r，得（1+r）Tn=a1（1+r）n+a2（1+r）n-1++an-1（1+r）2+an（1+r）②
②-①，得rTn=a1（1+r）n+d[（1+r）n-1+（1+r）n-2++（1+r）]-an=
[(1+r)n-1-r]+a1(1+r)n-an．d r
即Tn=
(1+r)n-a1r+d r2
n-d r
．a1r+d r2
如果记An=
(1+r)n，Bn=-a1r+d r2
-a1r+d r2
n，d r
则Tn=An+Bn．
其中{An}是以
(1+r)为首项，以1+r（r＞0）为公比的等比数列；a1r+d r2
{Bn}是以-
-a1r+d r2
为首项，-d r
为公差的等差数列．d r